FOYDALI MANBALAR
Вилоятлар
Qisqacha ma'lumot
F.I.SH.:
Мўминов Зайлобидин Муллаевич
Kafedra va lavozimi:
Табиий ва аниқ фанлар таълими, Кафедра мудири
Tug'ilgan sanasi:
1965-09-05
Davlat mukofoti va yili:
Yoq, Yoq
Ilmiy unvoni va darajasi:
Фан номзоди, Доцент
Tugatgan oliygohi, mutaxassiligi va yili: Тошкент Давлат Университети, Математика, 1989
Qisqacha ma'lumot:
Maqolalar:
Metodik materiyallar:

ҚИСҚА КЎПАЙТИРИШ ФОРМУЛАЛАРИ. МИСОЛЛАР ЕЧИШДА УЛАРДАН ФОЙДАЛАНИШ МЕТОДИКАСИ

 

ЎЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ

ХАЛҚ ТАЪЛИМИ ВАЗИРЛИГИ

 

ФАРҒОНА ВИЛОЯТИ ХАЛҚ ТАЪЛИМИ ХОДИМЛАРИНИ ҚАЙТА ТАЙЁРЛАШ ВА УЛАРНИНГ МАЛАКАСИНИ ОШИРИШ ИНСТИТУТИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З.Мўминов

 

 ҚИСҚА КЎПАЙТИРИШ ФОРМУЛАЛАРИ. МИСОЛЛАР ЕЧИШДА УЛАРДАН ФОЙДАЛАНИШ МЕТОДИКАСИ

(методик кўрсатма)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фарғона – 2015

 

Ушбу методик кўрсатма умумий ўрта таълим мактабларининг математика ўқитувчилари учунмўлжалланган бўлиб, унда ўқувчиларга қисқа кўпайтириш формулалардан фойдаланиб мисоллар ечишни ўргатишга оид тавсиялар аниқ мисоллар орқали баён қилинган.

 

 

 

 

 

 

 

Тузувчи: Фарғона вилояти ХТХҚТМОИ табиий ва аниқ фанлар таълими кафедраси доценти, физика-математика фанлари номзоди З.Мўминов.

 

 

 

                  

                                               

Taқризчилар: 1. К.Қодиров-  Фарғона давлат университети доценти, физика-математика фанлари номзоди.                       

                          2. Ҳ.Ҳамроқулов- Фарғона вилояти ХТХҚТМОИ табиий ва аниқ фанлар таълими кафедраси катта ўқитувчиси.

                          

 

 

 

 

Фарғона вилояти ХТХҚТМОИ табиий ва аниқ фанлар таълими кафедраси йиғилишида муҳокама қилинган ва маъқулланган (2015 йил 29 aвгустдаги 7-сонли баённома)

 

 

 

 

 

Фарғона вилояти халқ таълими ходимларини қайта тайёрлаш ва уларнинг малакасини ошириш институти Илмий Кенгашининг 2015 йил        29 сентябрдаги 4–сонли қарори билан нашрга тавсия этилган.

 

 

Абу Али ибн Синонинг “Аш-Шифо” асарининг “Сонлар фани” бўлимидан олинган баъзи натижалар

 

Буюк ватандошимиз, Ўрта Осиё халқлари маданиятини ўрта асрларда дунё маданиятининг олдинги қаторига олиб чиққан буюк мутафаккирлардан бири Абу Али ибн Синонинг “Аш-шифо” асарининг “Сонлар фани” бўлимида математикага оид ишларида сонларни квадрат ва кубга кўтариш амаллари ўрганилган ва баъзи натижалар келтирилган.

Қуйида шундай натижаларни кўриб чиқамиз:

1. Агар сонни 9 га бўлганда 2 ёки 7 қолдиқ қолса, бундай соннинг квадратини 9 га бўлганда 4 қолдиқ чиқади.

Масалан, 29:9=3 (2 қолдиқ)

                 29=(30-1)=900-60+1=841

                         841:9=93 (4 қолдиқ)

         2) Агар сонни 9 га бўлганда 3 ёки 6 қолдиқ қолса, бундай соннинг квадрати 9 га қолдиқсиз бўлинади.

         Масалан, 30:9=3 (3 қолдиқ)

                        30=(20-10)=400+400+100=900

                        900:9=100

3) Агар сонни 9 га бўлганда қолдиқ 1, 4 ёки 7 бўлса, у ҳолда бундай  соннинг кубини 9 га бўлганда қолдиқ 1 бўлади.

4) Агар сонни 9 га бўлганда қолдиқ 2, 5 ёки 8 бўлса, у ҳолда бундай  соннинг кубини 9 га бўлганда қолдиқ 8 бўлади.

        

 

 

Йиғиндининг ва айирманинг квадрати

 

Икки сон йиғиндисининг квадрати биринчи соннинг квадрати қўшув биринчи сон билан иккинчи сон кўпайтмасининг иккилангани қўшув иккинчи сон квадратига тенг:

(а+b)= (а+b) (а+b)=а+аb+аb+b= а+2аb+ b.

Икки сон айирмасининг квадрати биринчи соннинг квадрати айирув биринчи сон билан иккинчи сон кўпайтмасининг иккилангани қўшув иккинчи сон квадратига тенг:

(а-b)= (а-b) (а-b)=а-аb-аb+b= а-2аb+ b.

Юқоридаги тенгликларда а ва b исталган сонлар.

Мисоллар:

            (а+3b)= а+2а·3b+(3b)= а+6аb+ 9b

                    (5а2-3)= (5а)-2·5а2·3+3=25а-30а+9

Йиғинди ёки айирманинг квадрати формулалари қисқа  кўпайтириш формулалари дейилади ва улар баъзи ҳолларда ҳисоблашларни соддалаштириш учун қўлланилади. Масалан:

1)522=(50+2)2=2500+200+4=2704

2) 992=(100-1)2=10 000-200+1=9801

(1+а)2=1+2а+а2 тенгликни (1+а)21+2а тақрибий тенглик билан алмаштириш мумкин.

Мисоллар:

         1) (1,002)2=(1+0,002)2 1+2·0,002=1,004

         2) (0,997)2=(1-0,003)2 1-2·0,003=0,994

 

 

 

Йиғиндининг ва айирманинг куби

 

Икки сон йиғиндисининг куби биринчи соннинг куби қўшув биринчи сон квадрати билан иккинчи сон кўпайтмасининг учлангани қўшув биринчи сон билан иккинчи сон квадратининг учлангани қўшув иккинчи соннинг кубига тенг:

(а+b)3 = (а+b) (а+b)2=(а+b)(а2+2аb+b2)= а3+2а2b+аb2+аb+2аb2+ +b= а+3аb+ 3аb+b, яъни   (а+b) =а+3а+3аb+b.

Икки сон айирмасининг куби биринчи соннинг куби айирув биринчи сон квадрати билан иккинчи сон кўпайтмасининг учлангани қўшув биринчи сон билан иккинчи сон квадратининг учлангани айирув иккинчи соннинг кубига тенг:

(а-b)3= (а-b) (а-b)2 =(а-b)( а-2аb+b)= а-2аb +аb- аb+ 2аb- -b= а-3аb+3аb- b, яъни  (а-b) =а+3аb+3аb-b.

          Ушбу формулалар мос равишда йиғиндининг кубива айирманинг куби формулалари деб аталади ва бу формулалар ҳам қисқа кўпайтириш формулалари ҳисобланади.

Мисол:

  1. (2x+y)3=(2x)3+3·(2x)2·y+3·2x·y2+y3=8x3+12x2y+6xy2+y3.
  2. (x-3y)3=x3-3·x·(3y)2+3·x2·3y-(3y)3=x3-27xy2+9x2y-y3.

 

 

 

 

 

 

 

Кўпҳадни кўпайтувчиларга ажратишнинг бир неча усуллари

 

Кўпҳадни кўпайтувчиларга ажратишга доир топшириқларни бажаришда қуйидаги тартибга риоя қилиш мақсадга мувофиқ:

1)умумий кўпайтувчини қавсдан ташқарига чиқариш;

2)кўпҳадни қисқа кўпайтириш формулаларидан фойдаланиб кўпайтувчиларга ажратишга уриниб кўриш;

3)агар олдинги усуллар мақсадга олиб келмаса, гуруҳлаш усулини қўллаш.

Мисоллар. 1. Тенгликни исботланг:

               а+b=(а+b) (а-аb+b).

Исбот: Тенгликнинг ўнг томонидаги қавсларни очамиз ва ўхшаш ҳадларни ихчамлаймиз:

(а+b) ( а-аb+b)= а- аb+ аb+ аb- аb+ b3 = а+b.

Демак, а+b=(а+b) (а-аb+b).

2. Тенгликни исботланг:

а-b=(а-b) (а+аb+b).

Исботи: Тенгликнинг ўнг томонидаги қавсларни очамиз ва ўхшаш ҳадларни ихчамлаймиз:

(а-b) (а+аb+b) =  а + аb + аb- аb -  аb- b = а-b

Демак, а-b=(а-b) (а+аb+b).

Юқорида исботланган тенгликлар мос равишда икки ҳад кублари йиғиндиси ва кублари айирмаси формулалари деб аталади.

 

 

 

Квадратлар айирмаси формуласи

 

Икки сон квадратининг айирмаси шу сонлар айирмаси билан улар йиғиндисининг кўпайтмасига тенг:

а-b2=(а-b) (а+b).

Ушбу тенгликнинг тўғрилигини текшириш учун икки сон йиғиндисини уларнинг айирмасига кўпайтирамиз:

(а+b) (а-b) = а-аb + аb- b= а- b.

Демак, (а+b) (а-b)  = а- b.

Бу тенгликда а, b исталган сонлар.

 Мисоллар:

  1. (nm+3k) (nm-3k)=nm-9k.
  2. 63·57=(60+3) · (60-3) =60-3=3600-9=3591.

Квадратлар айирмаси формуласидан кўпҳадларни кўпайтувчиларга ажратишда фойдаланилади.

Масалан:

4b4-0,64с=(2b2)-(0,8с) =(2b-0,8с)( 2b+0,8с).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ифодаларни шакл алмаштиришда қисқа кўпайтириш формулаларидан фойдаланиш

 

         Бутун алгебраик ифодаларни шакл алмаштиришларни ўрганишда ифодага кирувчи ҳарфлар қийматлари берилганда алгебраик ифодада кўрсатилган амалларни бажариш мумкинлигини айтиб ўтилади. Бунда ўқувчилар қавсларни очиш ва ўхшаш ҳадларни ихчамлаш арифметик маънода амаллар эмаслигини тушуниб олишлари керак. Алгебраик ифодаларни шакл алмаштиришларга бу усулдан фойдаланиб бирҳадларни шакл алмаштириш, яъни уларни стандарт кўринишга келтириш, шундан сўнг эса кўпҳадларни шакл алмаштиришларга ўтиш мақсадга мувофиқ.

Кўпҳадларни қўшишда кўпҳадлар фақат белгилашлар билангина эмас, баъзи ҳолларда шакл алмаштиришлар орқали ҳам стандарт шаклга келтирилиши мумкин. Бунда кўпҳадлар йиғиндиси алгебраик йиғинди шаклида ёзилиб, унда ўхшаш ҳадлар ихчамланади, ўхшаш ҳадларни ихчамлаш арифметик амаллар хоссаларига асосан бажарилади. Бунда фақат қавслар очилади ва иккинчи кўпҳад ҳадлари биринчисига ўз ишоралари билан қўшиб ёзилади. Шундан сўнг уни стандарт шаклга келтириш керак.

Кўпҳадлар айирмаси бирҳадлар айирмаси каби биринчи кўпҳад билан иккинчи кўпҳадга қарама-қаршисини қўшиш билан аниқланиши мумкин ва шакл алмаштириш олдида “-” ишора турган қавсларни очишга олиб келинади. Тескари амалларни, яъни кўпҳадларни қавсга олишни ҳар бир ҳолда тўғри амал ўрганилгандан кейин қараб ўтилиши лозим.

Олдида “+” ишораси бўлган қавсларни очиш қоидаси қаралаётганда (масалан, 5аb+(2а-4аb+6b)=5аb+2а-4аb+6b) қавс ичидагикўпҳаднинг ҳадлари ўз ишоралари билан ёзилади ва қавс тушириб қолдирилади. Кўпҳаднинг бир неча ҳадларини олдида “+” ишорали қавс ичига олганда бу ҳадларни қавс ичига ўз ишоралари билан ўтказиш мумкин.

Бу ерда олдида “-” ишораси бўлган қавсларни очиш қоидаси ҳам қаралади. Бунда кўпҳаднинг бир неча ҳадларини олдида “-” ишораси турган қавс ичига олиш учун бирҳадларни қавс ичига тескари ишоралар билан киритиш лозим.

Кўпҳадларни кўпайтириш ўрганилаётганда аввало арифметик мисоллар ечилиши мақсадга мувофиқ. Масалан: бир хонали сонни икки хонали сонга, иккита икки хонали сонни, кўп хонали сонларни кўпайтириш ва ҳоказо.

Сонлар кўпайтмасини ҳисоблаш кўпайтиришнинг тақсимот қонуни асосида амалга оширилади. Масалан: 8·25=8·(20+5)=8·20+8·5. Бу қоидани бирҳадни бирҳадга кўпайтиришда қўллаймиз. Масалан, р(а+b)=ра+рb.

Ўқувчиларга буни кўпайтиришнинг тақсимот қонуни ёзуви деб баён этиш мумкин. Кейин икки хонали сонлар кўпайтмасини ҳисоблаш тартибини қараймиз. Мисол: 94·98=94·(100-2)=94·100-94·2=(100-6)·100-(100-6) ·2 ва ҳ.к.

Шундай қилиб, кўпҳадлар алгебраик йиғиндисида шакл алмаштириш тартибини топамиз:

(а+b) . (с+р)=ас+bс+ар+bр,   (а-b) . (с-р)=ас-bс-ар+bр.

 Кейин ҳадлари кўп бўлган кўпҳадлар кўпайтмасини топиш бўйича шакл алмаштиришларни кўриб чиқиш мумкин. Бунда кўпайтувчиларнинг бирортасини бирор ўзгарувчи билан алмаштириб ҳам кўпҳадларни кўпайтиришга эришиш мумкин. Масалан, (х+у+р).(а+b) кўпайтмада биринчи кўпайтувчини бирор ўзгарувчи билан алмаштириб соддароқкўпҳадни ҳосил киламиз. Сўнгра ҳосил бўлган кўпҳадда ўзгарувчининг ўрнига унинг ифодасини қўйиб, натижани ҳосил қиламиз. Икки кўпайтувчидан учта ва ундан ортиқкўпайтувчиларни кўпайтиришга ўтиш мумкин.

Кўпҳадни кўпҳадга кўпайтиришда биринчи кўпҳаднинг ҳар бир ҳадини кетма-кет иккинчи кўпҳаднинг биринчи ҳадига, сўнгра иккинчи ҳадига ва ҳ.к. кўпайтириш, ҳосил бўлган кўпайтмаларни қўшиш, яъни уларнинг йиғиндисини ёзиш керак. Кўпинча ўқувчилар буни системали бажармай хатога йўл қўядилар. Шунинг учун биринчи қадамларданоқўрнатилган тартиб қоиданинг бажарилишини талаб қилиш лозим.

Кўпҳадларни формула бўйича кўпайтиришни қуйидаги машқлар ёрдамида амалга ошириш мумкин:

        1. а ва b сонлар берилган. Қуйидаги ифодалар маъносини айтинг:

                              а+b, а-b, 2аb, (а+b)(а-b).

        2. Икки сон йиғиндиси квадрати формуласидан фойдаланиб, икки сон айирмаси квадрати формуласини чиқаринг.

       3. (а-b)2  = (b-а)2  айниятни исботланг.

       4.Икки ҳад йиғиндиси ва айирмасининг квадратлари формулаларини келтириб чиқаришда геометрик тасвирлардан фойдаланинг.

      5. Келтириб чиқарилган формулаларга доир машқларни қийинлаштириб бориш керак.

      6.Қисқа кўпайтириш формулаларининг ҳисоблашларга татбиқига доир мисоллар кўриш лозим.

         Кўпҳадни бирҳадга бўлишни ўрганишда кўп хонали сонни бир хонали сонга бўлиш қандай бажарилишини эслатиб ўтиш мақсадга мувофиқ. Масалан: 248:8=(200:8)+(40:8)+(8:8). Шундан фойдаланган ҳолда кўпҳадни бирҳадга бўлиш қоидаси келтирилиб чиқарилади: кўпҳаднинг бирҳадга бўлиш учун кўпҳаднинг ҳар бир ҳадини бирҳадга кетма-кет бўлинади ва бўлинмалар йиғиндиси натижа сифатида олинади.

          Масалан:

                         (4аb-2а):2а=(4аb:2а)-(2а:2а)=2b-1.

         Кўпҳадни кўпайтувчиларга ажратишни ўрганишда қуйидаги саволлар берилиши мумкин:

          а)18 а2b4 бирҳад берилган. Уни қайси бирҳадлар кўпайтмаси шаклида тасвирлаш мумкин?

          б) а2+аbкўпҳадни қандай кўпайтувчилар кўпайтмаси шаклида тасвирлаш мумкин?

         Натижа:

а) ҳар бир ҳадни турли кўпайтувчилар кўпайтмаси шаклида тасвирлаш мумкин, лекин бу алмаштириш афзалликлар бермайди;

б) кўпҳадда ҳар бир ҳад бир хил кўпайтувчига эга бўлса, уни қавсдан ташқарига чиқариш мумкин. 

       Бундай машқларни қисқа кўпайтириш формулалари ўрганилгандан сўнг ҳам ечиш мумкин. Масалан, ифодалар қийматларини ҳисоблашга доир машқлар берилади. Қавсдан ташқарига чиқариш орқали ҳисоблашни осонлаштиришга доир машқлар таклиф этилади, бунда таққослашни амалга ошириш лозим.

Ўқувчиларда кўпҳадни кўпайтувчиларга ажратиш бу уни бутун ифодалар кўпайтмаси шаклида тасвирлаш эканлиги ҳақида тушунча пайдо бўлади. Агар кўпайтмада ҳар бир кўпайтувчи яна кўпайтувчиларга ажралмайдиган бўлса, у ҳолда кўпҳадни кўпайтувчиларга ажратиш тугалланган бўлади. Ушбу а+аb+1+b=а(1+b)+(1+b) каби ҳолларда ҳосил бўлган кўпҳадни яна кўпайтувчиларга ажратиш зарурлигига олиб келади.

Алгебраик каср асосий хоссасидан фойдаланганда каср олдидаги ишора ўзгаришига, агар сурат ва махраж кўпҳадлар бўлса, сурат ва махраж олдидаги ишорани ўзгартириш кўпҳаднинг ҳар бир ҳади олдидаги ишорани ўзгартириш билан тенг кучли. Ўқувчилар бунда қуйидаги хатога йўл қўядилар:

                         .

         Ўқувчиларга касрнинг сурат ва махражида бир хил кўпайтувчили ифодалар бўлса, касрни қисқартириш имконияти борлигини тушунтириш лозим. Бу ҳолда каср компонентлари ишорасини ўзгартирмаслик керак, касрни шакл алмаштирмасдан қисқартириш керак. Масалан,

                        .

         Алгебраик касрларни қўшиш ва айиришни касрлар йиғиндисини битта касрини айний шакл алмаштириш сифатида қаралади. Бунда оддий касрни қўшиш ва айириш қоидаларини эслатиш, бунга ўхшаш алгебраик касрлар учун амаллар қоидалари келтириб чиқарилади.

         Касрларни қисқартириш ва қўшишда кўпҳадларнинг энг катта бўлувчиси ва касрлар махражлари энг кичик умумий карралиси масаласи пайдо бўлади. Лекин бу тушунча алоҳида кўрсатилмайди.

         Турли махражли касрларни қўшиш ва айиришда қуйидаги кетма-кетликка риоя қилиш зарур: дастлаб касрлар маражлари умумий кўпайтувчисига эга бўлмаган хол, масалан,  2х/5р+х/3р сўнгра касрлардан биринчи махражи бошқа касрлар махражлари учун каррали бўлган хол, масадан, 5а/20b+4а/5b касрлар қаралади ва ниҳоят ҳеч бир махраж бошқаларга каррали бўлмаган, лекин баъзилари ёки ҳаммаси умумий кўпайтувчига эга, масалан, ах/10аb+4х/15b+3х/18bс қўшишга доир шакллар орасида умумий махражга келтиришда каср олдидаги ишорани ўзгартириш тўгри келадиган машқлар ҳам бўлиши мақсадга мувофиқ.

Кўпайтувчиларга ажратиш ва умумий махражни топиш қуйидагича ёзилиши мумкин: 3а/2а-2b-а-2/3а+9+8а-b/27-3а2., бунда 2а-2b га қўшимча кўпайтувчи 3(а+3), 3а+9 га қўшимча кўпайтувчи 2(а-3), 27-3а2 га қўшимча кўпайтувчи -1. Умумий махраж 6(а-3)(а+3). Алгебраик йиғинди 7а/6(а-3) га тенг.

 Касрларни ўрганишда берилган касрлар маънога эга бўлган шартларни ҳам таҳлил этиш ва ҳисобга олиш зарур.

Шунингдек, алгебраик ифодалар тузишга оид матнли масалаларни ечишга эътибор бериш ҳам мумкин. булиш ва кўпайтириш қоидалари ҳам оддий касрларга ўхшаш ҳолда келтирилиб чиқарилади.

                                    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Қисқа кўпайтириш формулаларини қўллашга доир мисоллар ечиш

 

Қисқа кўпайтириш формулалари:

1)    (а+b) = а+ 2аb+b

2)    (а-b) = а- 2аb+b

3)    а- b=(а-b) (а+b)

4)    (а+b) = а+ 3аb+3аb+b=а+b+3аb(а+b)

5)    (а+b)= а- 3аb+3аb-b=а-b+3аbb-а)

6)    а- b=( а+b) (а-аb+b)

7)    а- b=( а-b) (а+аb+b)

Мисоллар:

1)    а- b=( а-b) ( а+b) (а+b);

2)    а- b=( а-b) ( а+b) (а+b) (а+ b);

3) (2 m+3k)=4 m+12 m k +9 k;

4) х+10х+25=х+2*5*х+5=(х+5);

5) (5а+7b)2=25а-70 аb+49b;

6) a6 – b6 = (a2-b2)(a4+a2b2+b4) = (a-b)(a+b)(a4+a2b2+b4);

7) a6 + b6 = (a2+b2)(a4-a2b2+b4);

8) (x+2y)3 = x3+3x2ž2y+3xž(2y)2+(2y)3 = x3+6x2y+12xy2+8y3;

9) (3x-y)3 = (3x)3-3(3x)2žy+3ž(3x)žy2-y3=27x3-27x2y+9xy2-y3.

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ФОЙДАЛАНИЛГАН АДАБИЁТЛАР

 

  1. Каримов И.А. Баркамол авлод - Ўзбекистон тараққиётининг пойдевори.
  2. Ш.А.Алимов, О.Р.Холмуҳаммедов, М.А.Мирзаахмедов. Алгебра. Умумий ўрта таълим мактабларининг 7-синфи учун дарслик.
  3. Б.Б.Рихсиев, Ҳ.Ҳ.Ғанихўжаев, Т.Қ.Қўрғонов. Математика олимпиада масалалари.
  4. З.Мўминов, Н.Ханкельдиева, Т.Каримов. Математикадан тест синовларини ечиш усуллари. 1-қисм.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Жойлаштирди: Мўминов Зайлобидин Муллаевич
Кўриб чиқилди: 175

МАТЕМАТИКА ФАНИ БЎЙИЧА СИНФДАН ТАШҚАРИ ИШЛАРНИ ТАШКИЛ ЭТИШ

З.Мўминов, Ҳ.Ҳамроқулов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МАТЕМАТИКА ФАНИБЎЙИЧА СИНФДАН ТАШҚАРИ ИШЛАРНИ ТАШКИЛ ЭТИШ

(методик кўрсатма)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЎЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ

ХАЛҚ ТАЪЛИМИ ВАЗИРЛИГИ

 

ФАРҒОНА ВИЛОЯТИ ХАЛҚ ТАЪЛИМИ ХОДИМЛАРИНИ ҚАЙТА ТАЙЁРЛАШ ВА УЛАРНИНГ МАЛАКАСИНИ ОШИРИШ ИНСТИТУТИ

 

 

 

 

 

 

 

 

З.Мўминов, Ҳ.Ҳамроқулов

 

МАТЕМАТИКА ФАНИБЎЙИЧА СИНФДАН ТАШҚАРИ ИШЛАРНИ ТАШКИЛ ЭТИШ

(методик кўрсатма)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фарғона – 2015

Мазкур методик кўрсатма ўқувчиларнинг математик билимларини кўтаришда синфдан ташқари ишларнинг ўрни ва аҳамияти масалаларига бағишланган бўлиб, унда математика фанидан ўтказиладиган синфдан ташқари ишларнинг турлари, уларни ташкил этиш йўллари ҳақидаги маълумотлар, синфдан ташқари тадбирларни ташкил этишда ўйинли технологиялардан фойдаланиш бўйича тавсиялар баён қилинган.

Ушбу методик кўрсатма математика ўқитувчилари, малака ошириш курслари тингловчилари ва шу соҳага қизиқувчи мутахассислар учун мўлжалланган.

 

 

 

 

 

      Тузувчилар: З.Мўминов – Фарғона ВПХТХҚТМОИ “Табиий ва аниқ фанлар таълими” кафедраси доценти,

                            Ҳ.Ҳамроқулов – Фарғона ВПХТХҚТМОИ “Табиий ва аниқ фанлар таълими” кафедраси катта ўқитувчиси.

 

 

 

Тақризчилар: 1. Фарғона вилояти халқ таълими ходимларини қайта тайёрлаш ва уларнинг малакасини ошириш институти “Табиий ва аниқ фанлар таълими” кафедраси ўқитувчиси Н.Мамадалиев.

2. Фарғона давлат университети доценти, физика-математика фанлари номзоди Т.Тожиев.

 

 

 

 

 

Фарғона вилояти халқ таълими ходимларини қайта тайёрлаш ва уларнинг малакасини ошириш институти Илмий Кенгашининг 2015 йил 30 июндаги 3–сонли қарори билан нашрга тавсия этилган.

 

 

КИРИШ

 

Инновацион ривожланиш йўлидан жадал бораётган мамлакатимизда баркамол авлод тарбияси, маърифатли ва юксак маънавиятли фуқароларни етиштириш давлатимиз сиёсатининг устувор йўналишларидан биридир. Ўзбекистон Республикаси Президенти Ислом Каримовнинг мамлакатимизни 2013 йилда ижтимоий-иқтисодий ривожлантириш якунлари ва 2014 йилга мўлжалланган иқтисодий дастурнинг энг муҳим устувор йўналишларига бағишланган Вазирлар Маҳкамасининг мажлисидаги маърузасида таъкидланганидек: “Бизнинг вазифамиз, керак бўлса, олий бурчимиз – фарзандларимизнинг ҳам жисмоний, ҳам маънавий жиҳатдан уйғун ривожланган, замонавий билим ва тажрибаларни пухта эгаллаган, Ватанимиз ва халқимиз келажаги учун масъулиятни ўз зиммасига олишга қодир бўлган баркамол инсонлар бўлиб вояга  етиши учун қўлимиздан келган барча-барча ишларни амалга оширишдан иборатдир”.

Таълимнинг бугунги кундаги асосий вазифаларидан бири ўқувчиларни кун сайин ошиб бораётган ахборот оқимидан оқилона фойдаланишга ўргатиш, узлуксиз ўрганиш учун маъқул муҳит, шарот-шароит яратишдан иборат. Бунинг учун ўқитувчининг ўзи ҳам мунтазам равишда ўз устида ишлаши, педагогик маҳоратни узлуксиз ошириши, жаҳон ва милий педагогик мерос ҳамда фан-техника ютуқларидан ижодий фойдаланган ҳолда таълим жараёнини такомиллаштириб бориши лозим.

Бугунги кунда таълим тизимининг асосий вазифаси мустақил фикрлай оладиган, миллий меросимизни қадрлайдиган, ижодкор, ахлоқли, ҳар томонлама камол топган ёшларни тарбиялашдан иборат. Бу вазифаларни амалга оширишда ҳозирги замон ўқитувчисидан тинмай ижодий изланиш, ўқитишга янгича муносабат ва фидойилик талаб этилади.

 

 

 

 

Ўқувчиларнинг математик билим даражаларини кўтаришда синфдан ташқари ишларнинг ўрни

 

Ўқувчиларнинг назарий билимларини чуқурлаштириш, кенгайтириш, уларда эгалланган назарий билимлардан амалиётда мустақил ва самарали фойдалана олиш кўникмаларини ҳосил қилишда синфдан ташқари машғулотлар муҳим ўрин тутади.

Синфдан ташқари ишнинг асосий мақсади ўқувчилардаги фанга бўлган қизиқишни ривожлантириш, уларни дарсда олган билимларини тўлдирувчи билим, малака ва кўникмалар билан қуроллантиришдан иборат. Шунинг учун синфдан ташқари ишларнинг турли шаклларидан фойдаланиш мумкин.

Математика ўқитувчиси дарс жараёнида, дарсдан ташқари машғулотларда, математика тўгаракларида турли кечалар, учрашувлар, қизиқарли мавзулар ёки машҳур олимларнинг ижоди ва фаолиятига бағишлаб турли тадбирлар ташкил қилиши мақсадга мувофиқдир. Булар билан бир қаторда ўқитувчи дарс вақтида, мавзуга боғлиқ бўлган тушунчаларнинг математика фанига киритилиши, уларнинг ривожланиб бориши ва бу соҳадаги қомусий олимларнинг ҳиссаларини тушунтириши лозим. Шуни таъкидлаш лозимки, ўқувчилардан барча тарихий далилларни, саналарни ёддан билиши талаб қилинмайди.

Мазкур мақсадларни дарс жараёнининг ўзида тўлақонли амалга ошириб бўлмайди. Дарс билан узвий боғлиқ ҳолда дарсдан ташқари ишлар математика ўқитишнинг мажбурий шакли бўлиб қолди, улар дарсни давом эттиради ва мустаҳкамлайди.

Ҳозирги кунда ўқувчиларнинг математика фани бўйича билим даражаларини кўтариш жуда муҳим. Ўсиб келаётган ёш авлодни ўқитиш ва комил инсон қилиб вояга етказиш дарс ва синфдан ташқари ишлар самарадорлигини сезиларли даражада оширишни талаб этади.

Ўқитувчи ўқувчиларнинг ижодий қобилиятларини, математика фанига бўлган қизиқиш ва муҳаббатини ривожлантириш учун синфдан ташқари ишларнинг турли-туман шаклларини ўтказишга жиддий эътибор қаратиши лозим. У ўқувчиларни иқтидори ва қобилиятига қараб тўғри йўналтира олиши керак. Ўқитувчининг олдида турган асосий масалалардан бири синфдан ташқари ишларни олиб бориш учун муносиб ўқувчиларни танлаб олишдан иборат. Ўқувчиларнинг фаол ижодий фаолиятини ривожлантиришга йўналтирилган синфдан ташқари ишлар жараёнида математика фанига иқтидори бор болаларни танлаб олиш осон кечади.

Энг асосийси ўқитувчи математика фанини ўргатишда синфдаги ва синфдан ташқари ишларни боғлаб олиб бориши керак. Бунда синфдаги машғулотларни мантиқий давом эттирадиган синфдан ташқари ишларнинг шакл ва усубларидан фойдаланиш, биринчи навбатда ўқувчилар томонидан математика фанига оид ностандарт масалалар тузилиши ва ечилишига эътиборни кучайтириш зарур. Бунинг учун ўқитувчи ўқувчиларни дарсда ва синфдан ташқари машғулотларда нима билан шуғуллантириш кераклигини аниқлаб олиши лозим, деб ўйлайман. Ўқувчи машғулотлар тугагач у нимани ўрганганлиги ва мустақил равишда яна нимани ўрганиши лозимлиги тўғрисида яққол тасаввурга эга бўлиши керак. Ўқитувчи эса ўқувчиларда амалий масалалар ечишнинг янги ижодий томонларини мустақил излаш ва топиш истаги пайдо бўлиши учун интилиши ва ҳаракат қилиши керак. Мустақил машғулотлар жараёнида баъзи ўқувчилар замонавий математиканинг ўта муҳим бўлимларини тушуниб ета олиш малакасига эга бўладилар ва бунга чин дилдан қизиқиш билдирадилар.

Ўқувчилар билан синфдан ташқари машғулотларни ташкил қилишда, ўқитувчининг вазифаси таълим самараси паст бўлган методларга нисбатан, яъни ўқувчи пассив тингловчи, эсда сақлаб қолувчи ва такрорловчи эмас, онгли иштирокчи бўлишини таъминлашдан иборат бўлади. Шубҳасизки, бундай дарсларга тайёрланиш ва ўтказишда ўзига хос қийинчилик ва мураккаблик ўқитувчи зиммасида бўлади. Бунинг эвазига ўқитувчи ўқувчиларнинг пухта, аниқ тассавурга эга билим олишига, дунёқараши ва тафаккури ривожланишга, ўзи қизиққан ихтисосни эгаллашига мақсадли ёндашишга йўналтира олади.

Математика фани бўйича синфдан ташкари машғулот­лар ўқувчиларнинг фан асосларини чуқур ва мустаҳкам ўзлаштиришларига эришиш, қўшимча ўқув адабиётлари, кўргазмали воситалар ёрдамида мустақил ишларини ташкил этиш, ўқувчиларнинг қизиқишлари ва билимларни ўзлаштиришга бўлган эҳтиёжларини ҳисобга олган ҳолда табақалаштирил­ган таълимни ташкил этиш, уларнинг ижодий қобилиятлари, мустақил ва мантиқий фикрлашини ривожлантириш, илмий дунёқарашини кенгайти­риш, касбга йўллаш, ўқувчиларнинг онги ва қалбига миллий истиқлол ғоясини сингдириш мақсадида ўтказилади.

 

 

Математика фанидан ўтказиладиган синфдан ташқари ишларнинг турлари, уларни ташкил этиш йўллари

 

Мактаб тажрибасида математикадан синфдан ташқари ишларнинг қуйидаги турлари учрайди: викторина, танлов, олимпиада, математикадан деворий газеталар, тўгарак ва бошқалар.

Математикадан викториналар маълум мавзу, бўлим, ёки умуман математикага  доир масалалар бўйича савол-жавоб ўйини бўлиб, кўп вақт ва катта тайёргарлик талаб қилмайди.

Математикадан викториналар 10-20 минут давом этади. Бунда олдиндан тайёрланган 5-6 саволга оғзаки ёки ёзма жавоб олинади.

Математикадан викториналарни тизимли ўтказиб туриш ўқувчиларни масалаларни турли усулларда ечишга ўргатади, уларнинг фикрлаш ва ҳозиржавоблик қобилиятларини камол топтиради.

Умуман, викториналар қизғин мусобақа тарзида ўтади, энг билағон, топқир ва ҳозиржавоб ўқувчиниёки илғор синфни тақдирлаш имконини беради.

Викторинада қатнашиш мутлақо ихтиёрий бўлиб, ўқувчиларнинг математикага бўлган қизиқишларини ошириш, математикага қизиқувчиларни аниқлаш ва кейинчалик уларни математика тўгарагига жалб этиш мақсадида ўтказилади.

Албатта, викторинада тавсия этилган саволлар турлича қийинликда бўлиб, унга кўпроқ ўқувчиларнинг қатнашувига эришиш керак.

Математикадан викториналар ҳар хил ўтказилиши мумкин. Қуйида уларнинг икки хилини мисол тариқасида келтирамиз:

1. Саволлар (мисол, масалалар) ўқитувчи томонидан ўқувчиларга оғзаки берилади ёки доскага олдиндан ёзиб қўйилади. Жавобни ҳам ўқувчилар оғзаки тайёрлайдилар ёки ўз дафтарларига қисқа, яъни ўзлари эслаб туришлари учун керакли нарсаларни ёзиб турадилар. Ўқитувчи ўқувчилардан бир нечтаси қўл кўтаргунча кутиб туриб, кейин биринчи бўлиб қўл кўтарган ўқувчидан сўрайди. Агар биринчи қўл кўтарган ўқувчи нотўғри жавоб берса, иккинчи, учинчи қўл кўтарган ўқувчилардан (тўғри жавоб олгунча) сўралади.

2. Агар ўқитувчи саволни доскага ёки катта қоғозга олдиндан ёзиб қўядиган бўлса у ўқувчиларга ишлаш учун буйруқ беради ва жавобларни дафтарга ёзиб тўғрилигига ишонч қилгандан кейин қўл кўтариш кераклигини айтади. Ўқитувчиқўлкўтарганўқувчиларолдигаборибберилгансавол, масалаёкимисолжавобиникўради. Сўнграаввалқўлкўтарганўқувчигажавобниайтишгаважавобинитушунтирибберишгарухсатберади.

Математикаданэрталиклар (кечалар) оммавийтадбирларданбирибўлиб, ўқувчиларваота-оналарўртасидаматематикбилимларнитарқатишҳамдаўқувчиларнингматематикагақизиқишиниошириш, шубиланбиргауларниматематикатўгаракларигакўпроқжалбқилишмақсадидаўтказилади.

Математикаданэрталикларнибирсинфбиланёкипараллелсинфларниқўшибўтказишмумкин. Эрталикўртаҳисобдабирсоатдавомэтишимумкин. Эрталикниўтказишучунпухтатайёргарликкўришкерак. Бунингучунэнгкамидабиройолдинўқитувчичуқурўйланганрежатузибчиқишикерак. Шунданкейинўқувчиларбилансуҳбатлашиб, уларгақилинадиганишлартақсимлабчиқилади. Буишгаота-оналарниҳамжалбқилишмумкин.

Эрталикдастуриникераклиматериаллар (шеър, қўшиқ, бошқотирма, қизиқарлимасала, математикўйин, конкурсмасалалари, викторинасаволлари, иштирокчиперсонажларлибосларивабошқа) тайёрбўлгандансўнгянабирмаротабакўрибчиқишвамуҳокамаданўтказишкерак. Бумуҳокамадаэрталикни (кеча) ўтказишучунёрдамберадиганбарчанитаклифэтишшарт.

Эрталикни (кеча) ўтказишдан бир ҳафта олдин унинг чиройли безатилган ва катта қилиб ёзилган дастурини кўринарли жойга осиб қўйиш керак. Дастурдаги баъзи саволларга бошқа ўқувчилар ҳам тайёргарлик кўриши мумкин.

Эрталик ўтадиган хона (зал) иложи борича эрталикка мослаб безатилади. Эрталик (кеча)да иштирок этган болалар фантазия қилиш, мулоҳаза юритиш, тўғри фикрлаш ва гапиришга ўрганишади. Демак, математикадан эрталик учун сарфланган вақт фақат математик қимматга эга бўлмай, балки ўқувчилар учун умуммаданий қимматга ва тарбиявий аҳамиятга ҳам эгадир.

Юқорида айтиб ўтилган синфдан ташқари ишларда (10 минутлик, викторина, эрталик ва ҳ.к.), асосан, бутун синф ўқувчилари иштирок этса, математик мусобақаларда (конкурс, олимпиада) кўпчилик иштирок этиб, ғолиблар мусобақаси билан якунланади, яъни бу мусобақа бир неча кун (кўпинча 3 ёки 4) давом этади. 1-турда истаган ҳамма ўқувчилар қатнашиши мумкин. Унда муваффақиятли қатнашган ўқувчилар 2-турда қатнашадилар. 2-турдан муваффақиятли ўтган ўқувчилар 3-турда қатнашиш ҳуқуқига эга бўладилар ва ҳ.к. 1-турни синфдаги барча ўқувчилар иштирокидаги оғзаки қизиқарли саволлар орқали викторина шаклида ўтказиш мумкин. Шунда ғолиб чиққан ўқувчилар билан 2-тур мусобақалар ўтказилади. Шундан кейин параллел синфлар ўқувчилари 3-турда куч синашади. Натижада синф ёки мактаб бўйича энг кучли ўқувчилар аниқланади.

Математика фани бўйича деворий газеталар ўқувчиларда катта   қизиқиш  уйғотади. Математика фани бўйича деворий газета одатда математика тўгараги органи ҳисобланади, шу сабабли деворий газета тўгарак аъзоларининг кучи билан ўқитувчининг бевосита раҳбарлигида тайёрлаланади. Ўқитувчи, деворий газетани тайёрлашда мумкин қадар ўқувчиларнинг шахсий ташаббускорлигини оширишга эришиши керак. Деворий газеталар қуйидаги бўлимлардан ташкил топиши мумкин:

  • Математика тарихидан бир шингил;
  • Синф ўқувчиларининг математик ҳаёти;
  • Ўқувчиларга ўқиш учун тавсия қилинадиган адабиётлар;
  • Масалалар (қизиқарли, мантиқий, конкурс);
  • Математик ўйинлар;
  • Юмор;
  • Ўтган сонлардаги конкурс масалаларининг ечимлари ва жавобларини редколлегияга топширган ўқувчилар ҳақида маълумот.

Деворий газетада математика фанига ҳисса қўшган буюк алломалар ҳақида қисқа, лекин мароқли ҳикоялар берилиши керак. Бирор аллома ҳақида ҳикоя қилинадиган бўлса, унинг расми ва расмнинг тагида бу олим ҳақидаги, унинг ишлари тўғрисидаги маълумот ёки олим ҳаётидаги қизиқ воқеалар тўғрисидаги кичикроқ ҳикоя берилади. Олим айтган фикрларни ёки у ҳақидаги бошқа олимлар айтган сўзларни кўчириб ёзиш ҳам фойдали.

Газетада бериладиган масалаларнинг шартлари қисқа, тез эсда қоладиган бўлиши мақсадга мувофиқдир.

Юқоридаги фикр-мулоҳазалардан шуни хулоса қилиш мумкинки, турли шакл ва услублардан фойдаланган ҳолда ташкил этилган синфдан ташқари ишлар ўқувчиларнинг ижодий қобилиятларини ривожлантиришга хизмат қилиши шубҳасиз.

 

 

 

 

 

Математика фани бўйича синфдан ташқари тадбирларни ўтказишда ўйинли технологиялардан фойдаланиш

 

Ҳозирги кунда умумий ўрта таълим мактабларида синфдан ташқари тадбирларни ташкил этиш ва ўтказишда ўйинли технологиялардан самарали фойдаланишга алоҳида эътибор берилмоқда. Бунинг ассий сабаби таълим олувчиларда муайян фаолият юзасидан эгалланган назарий билимларни амалий кўникма ва малакаларга айлантириш, уларда таълимий фаолликни юзага келтириш, уларни ижтимоий муносабатлар жараёнига кенг жалб этишда ўйинли технологиялар ўзига хос ўрин тутади. Бугунги кунда таълим жараёнида қўллаш учун қулай бўлган турли ўйинли технологиялар яратилган.

Ўйинли технологиялар таълим жараёнининг самарадорлигини таъминлаш, таълим олувчиларда муайян фаолликни юзага келтириш, шунингдек, билим, кўникма ва малакаларни ҳосил қилишга хизмат қилувчи вақт оралиғини қисқартириш, таълимни жадаллаштиришга ёрдам беради. Ўйинли технологиялардан фойдаланишда бир қатор психологик хусусиятлар ҳам намоён бўладики, бунинг оқибатида ҳар бир таълим олувчи ўзининг шахсий имкониятларини намойиш эта олади, ўз ўзини бошқариш кўникмаларини ҳосил қилади. Бу технологиялар нафақат назарий билимларни мустаҳкамлаш, уларнинг амалий кўникма ва малакаларга айланишини  таъминлабгина қолмай, балки таълим олувчиларда муайян ахлоқий, иродавий сифатларни ҳам тарбиялашга ўз улушини қўшади.

Қуйида математика фани бўйича синфдан ташқари машғулотлар жараёнида қўллаш мумкин бўлган ўйинлардан бирининг умумий лойиҳаси келтирилмоқда.

Ўйинни ўтказишдан мақсад ўқувчиларнинг математика фанига оид билимларини чуқурлаштириш. Мазкур ўйин беллашув тарзида ҳам ташкил этилиши мумкин. Унда икки ёки тўртта гуруҳ иштирок этиб, қатор шартларни  бажарадилар.

Ўйин давомида гуруҳлар бир неча бекатларда тўхташиб, ушбу бекатлар номи билан боғлиқ шартларни бажаришлари лозим бўлади. Бекатларнинг номини шартли равишда Билағонлар, Қоидалар, Тафаккур, Жумбоқ, Ихтирочилар, Маҳорат, Ижодкорлар номлари билан атаймиз.

Билағонлар бекатида ҳар гуруҳ портретларда тасвирланган ёки ўзлари танлаб олган варақалардан номлари ёзилган аллома ва олимларнинг (математика фанининг ривожланишига муносиб улуш қўшган) ҳаёти, фаолияти тўғрисида ҳикоя қилиб беришлари керак бўлади. Ўйинда Муҳаммад Мусо Ал Хоразмий, Абу Райҳон Беруний, Мирзо Улуғбек ва бошқа шахсларнинг портретлари кўрсатилиши ҳамда улар тўғрисида маълумотлар берилиши талаб этилиши мумкин.

Қоидалар бекати. У ерда ҳар бир гуруҳларга математика фанига оид тушунчалар мазмунини қай даражада билишлари ҳамда шарҳлай олишлари аниқланади (гуруҳ вакили тушунчалар номи ёзилган варақлардан бирини танлаб олади).

Тафаккур бекати. Бу ерда гуруҳларга математика фанига оид 8 ёки 10 та  сўздан иборат матн тузиш вазифаси топширилади. Гуруҳлар ўзларига берилган сўзлар ёрдамида шартни бажаришлари мумкин (бу сўзлар беллашув ҳайъати томонидан тақдим этилади). Бу бекатда бошқа мазмундаги шартларни бажариш топшириғи ҳам берилиши мумкин.

Жумбоқ бекатида гуруҳлар эътиборига математика фанига оид ребус  ёки бошқотирмаларни ечиш вазифаси топширилади.

Ихтирочилар бекати. Бу ерда ҳар бир гуруҳ математика курси доирасидаги исталган мавзу юзасидан кўрсатмали қурол, жадвал ёки лойиҳа тайёрлаши керак бўлади.

Маҳорат бекатида ҳар бир гуруҳ математика фанига оид тушунчаларни ифодаловчи  шеър, қўшиқ ёки саҳна кўриниши ижро этиб беришлари керак.

Ижодкорлар бекати. Бу бекатда ҳар бир гуруҳ математика фанига оид деворий газета тайёрлашлари керак (топшириқлар беллашув бошланмасдан олдин бериб қўйилади).   

Ўйинли технологиялар асосида ташкил этилган беллашувлар таълим олувчиларда назарий билимларни пухта эгаллаш, педагогик фаолиятни ташкил этиш эҳтиёжининг юзага келишига туртки беради.

Математика фанидан синфдан ташқари машғулотларда “Ёш математик”, “Математика оламида”, “Қизиқарли математика” каби номлар билан аталувчи деворий газетани чиқариш ҳам ижобий самара бера олади. Унинг саҳифаларида муайян мавзу моҳияти, информацион технологиялар соҳасида рўй бераётган воқелик, ютуқ ва янгиликларнинг мазмун ва тафсилотлари кенг ёритиб борилади. Шунингдек, деворий газетада ўқувчилар томонидан тузилган масалалар ёки дастурлар, билимлар беллашуви ва фан олимпиадаси материаллари, ўз ўзини синаб кўриш бўйича топшириқлар, ўқувчиларнинг жавоблари каби маълумотларга ҳам кенг ўрин берилиши мумкин. Ўқитувчи деворий газетанинг чиқарилишида гуруҳ ёки синфдаги барча ўқувчиларнинг фаол иштирокини таъминлашга алоҳида эътибор бериши лозим. Ўйинларни ўтказиш ёки деворий газетани тайёрлаш чоғида ҳар бир таълим олувчининг иштирокини таъминлаш айни вақтда уларнинг назарий билим, амалий қўникма ва малакалари даражасини ҳам баҳолаб бориш учун шароит яратади.

         Ўйинли технологиялар турли шаклда бўлсада, уларнинг барчаси ўз мазмунига кўра ягона мақсад сари йўналтирилган. Улар ўқувчиларнинг назарий билимларини чуқурлаштириш, кенгайтириш, эгалланган назарий билимлардан амалиётда мустақил ва самарали фойдалана олиш кўникмаларини ҳосил қилиш, ўқувчиларни ижтимоий муносабатларни уюштиришга тайёрлаш, уларда ижтимоий фаолликни шакллантириш, комил шахсни камол топтиришдан иборат вазифани ҳал этади.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фойдаланилган адабиётлар

 

  1. Р.Ж.Ишмуҳамедов. Инновацион технологиялар ёрдамида таълим самарадорлигини ошириш йўллари. –Т.: ТДПУ, 2004. 
  2. Д.А.Мавашев. Внеклассная работа по математике. – Т.: “Ўқитувчи”, 1989.
  3. Ў.Қ.Толипов. Педагогик технология асослари. – Т.: “Мактаб ва ҳаёт” журналига илова, 11(035)-нашр, 2003.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Жойлаштирди: Мўминов Зайлобидин Муллаевич
Кўриб чиқилди: 216

ФУНКЦИЯ ТУШУНЧАСИНИ КИРИТИШ. ТЕСКАРИ ФУНКЦИЯ

ЎЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ

ХАЛҚ ТАЪЛИМИ ВАЗИРЛИГИ

 

ФАРҒОНА ВИЛОЯТИ ХАЛҚТАЪЛИМИ ХОДИМЛАРИНИ ҚАЙТА ТАЙЁРЛАШ ВА УЛАРНИНГ МАЛАКАСИНИ ОШИРИШ ИНСТИТУТИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З.Мўминов

 

 ФУНКЦИЯ ТУШУНЧАСИНИ КИРИТИШ. ТЕСКАРИ ФУНКЦИЯ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фарғона - 2016

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЎЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ

ХАЛҚ ТАЪЛИМИ ВАЗИРЛИГИ

 

ФАРҒОНА ВИЛОЯТИ ХАЛҚТАЪЛИМИ ХОДИМЛАРИНИ ҚАЙТА ТАЙЁРЛАШ ВА УЛАРНИНГ МАЛАКАСИНИ ОШИРИШ ИНСТИТУТИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З.Мўминов

 

 ФУНКЦИЯ ТУШУНЧАСИНИ КИРИТИШ. ТЕСКАРИ ФУНКЦИЯ

 

Умумий ўрта таълим мактаблари математика ўқитувчилари учун методик кўрсатма

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фарғона - 2016

 

Ушбу методик кўрсатмада умумий ўрта таълим мактаблари математика курсида ўқувчиларга функция тушунчасини сингдириш ва тескари функция ҳақида маълумотлар бериш бўйича кўрсатмалар баён қилинган.

Мазкур кўрсатма халқ таълими тизимида математика ўқитувчилари малакасини ошириш ва уларни қайта тайёрлаш курслари тингловчилари ҳамда умумий ўрта таълим муассасалари математика ўқитувчилари учун мўлжалланган.

 

 

                                                                                                                        

 

 

 

 

 

 

Тузувчи: З.Мўминов – Фарғона вилояти ХТХҚТМОИ “Табиий ва аниқ фанлар таълими” кафедраси доценти, физика-математика фанлари номзоди.

                     

 

 

 

 

 

Тақризчилар: Ҳ.Ҳамроқулов – Фарғона вилояти ХТХҚТМОИ “Табиий ва аниқ фанлар таълими” кафедрасикаттаўқитувчиси.

                         Т.Тожиев – Фарғона давлат университети доценти, физика-математика фанлари номзоди.                        

 

 

 

 

Фарғона вилояти халқ таълими ходимларини қайта тайёрлаш ва уларнинг малакасини ошириш институти Илмий Кенгашининг 2016 йил “____” ____________ даги ___–сонли йиғилишида муҳокама қилинган ва нашр этишга тавсия қилинган.

 

 

 

Кириш

 

Мамлакатимизда соғлом ва баркамол авлодни тарбиялаш ёшларнинг ўз ижоди ва интелектуал салоҳиятини рўёбга чиқариши, мамлакатимиз йигит ва қизларини XXI аср талабларига тўлиқ жавоб бериши, ҳар томонлама ривожланган шахслар этиб вояга етказиш Ўзбекистон Республикасида 2010 йилни “Баркамол авлод йили” деб эълон қилинди. 2010 – 2011 ўқув йили эса “Сифатли таълим – баркамол авлод камол топишининг пойдевори” деб аталди.

Ўзбекистон Республикаси Президентининг 2009 йил 9 –декабрдаги 3329 – фармойишига биноан “Баркамол авлод йили” давлат дастури тасдиқланди.

1997 йил 29 – августда “Таълим тўғрисида” қонун қабул қилинган эди.

2008 йили “Таълим тўғрисида” қонуннинг янги таҳрири 7 та бўлим 53 та моддадан иборат бўлиб, биз ўқитувчиларга катта маъсулият юклайди.

Таълим тўғрисида” қонуннинг 3, 7, 9, 19, 25, 26, 27 – моддалрида ДТС ҳақида фикр юритилар экан ДТС Ўзбекистон Республикаси Вазирлар Маҳкамасининг 1999 йил 16 – август 390 -  сонли қарори билан тсдиқланиб, 1999 – 2000 ўқув йилидан бошлаб босқичма – босқич жорий этила бошлади. ДТС бўйича функция мавзуси 8 – синф алгебра курсида киритилиб, унда ўқувчилар онгида функция ўзи нима? Деган саволга жавобни сингдириш. Ўқувчилар функциянинг берилиш усуллари, графиги, хоссалари ҳақида билиш, олган билимларини мисоллар ечишга қўллай олиш, хуқусан мавзу ҳақида билим, кўникма ва малакага эга бўлишларини талаб этади. Чизиқли функция ҳақида ўқувчиларга тушунча берар эканмиз унинг графиги қачон ўсувчи, қачон камаювчи бўлишини, унинг графиги доимо тўғри чизиқдан иборат эканлигини, ордината ўқини қайси нуқтасидан кесиб ўтишини функциянинг берилишга қараб графигини чиза олишни таъминлаш керак. Бизнинг асосий вазифамиз, мақсадимиз комил инсонни тарбиялашдан иборат.


 

Ўзгармас ва ўзгарувчи миқдорлар

 

Қаралаётган жараёнда бир хил сон қийматларини қабул қиладиган миқдорларга ўзгармас миқдорлар дейилади. Масалан, қандай радиусли айлана олмайлик, унинг узунлигининг деаметрига нисбати бир хил  сондан иборат бўлади. Бу ҳолда  нисбат ўзгармас миқдордир.

     Қаралаётган жараёнда ҳар хил сон қийматлари қабул қиладиган миқдорларга ўзгарувчи миқдорлар дейилади. Масалан, ҳаво ҳарорати (температураси), вақт, ҳаракатнинг тезлиги ўзгарувчи миқдорлардир. Бундай мисолларни кўплаб келтириш мумкин. Ҳамма ўзгарувчи миқдорларни бирданига ўрганиб бўлмайди. Энди иккита ўзгарувчи миқдорлар орасидаги боғланишни қараймиз.

 

Функция тушунчаси

 

Функция тушунчаси математиканинг энг асосий тушунчаларидан бири бўлиб, унинг ёрдамида табиат ва жамиятдаги кўп жараён ва ҳодисалар моделлаштирилади.

     Математик таҳлилда элементлари ҳақиқий сонлардан иборат, бўлган тўпламларни қараймиз.  ва  лар ҳақиқий сонлар тўплами бўлсин.  тўпламда,  тўпламда ўзгарсин.

  

 

  Таъриф.  ҳар бир  га бирор қоида ёки қонун бўйича  дан битта  мос қўйилса,  тўпламда функция берилган (аниқланган) деб аталади ва у

                                            

символ билан белгиланади. Айрим ҳолларда  ҳам деб белгиланадики, бунда компьютерда олдин  қиймати олиниб, кейин ҳисобланадиган символ олинади. Бунда  тўпламга функциянинг аниқланиш соҳаси,  тўпламга ўзгариш соҳаси ёки қийматлар тўплами дейилади. Одатда функция аниқланиш соҳасини , қийматлар тўпламини  билан белгиланади.

Шундай қилиб, ҳар бир элемент га битта ва фақат битта  мослик ўрнатилган бўлса, бу мосликка  тўпламда функция аниқланган дейилади.  га эркли ўзгарувчи ёки аргумент,  га эса эрксиз ўзгарувчи ёки  нинг функцияси дейилади.

Шундай қилиб, функция берилган бўлиши учун: 1)  тўплам берилиши керак (кўп ҳолларда уни  билан  ўзгарувчиларнинг боғланишига кўра топилади); 2)  ўзгарувчининг  тўпламдан олинган ҳар бир қийматига унга мос қўйиладиган  ни аниқлайдиган қоида ёки қонун берилиши керак. (таърифда уни  символ билан белгиладик).

Масалан; 1)  тўпламга тегишли бўлган ҳар бир сонга унинг ўзини ўзига кўпайтириб, яъни квадратга кўтариб мос қўйувчи қоида бўлсин. Бу ҳолда  функция ҳосил бўлади. Бу функция  оралиқда аниқланган; 2)  ҳар бир  сонга шу сондан олинган квадрат илдизни мос қўйсин. Бу  функцияни ифодалайди. Унинг аниқланиш соҳаси бўлади.

1-мисол.  функциянинг аниқланиш соҳасини топинг.
Ечиш. Маълумки, функциянинг аниқланиш соҳаси  нинг шундай қийматлари тўпламики, бунда  функция ҳақиқий сон қийматларга эга бўлиши керак. Берилган функцияда

                                      
бўлгандагина  нинг ҳар бир қийматига мос келадиган  нинг қиймати ҳақиқий бўлади. Бу тенгсизликлар системасидан,бњлиб, яъни  бўлишини топамиз. Демак, берилган функциянинг аниқланиш соҳаси  бўлади.

 

Функциянинг берилиш усуллари

 

Функция таърифида келтирилган  ўзгарувчининг ҳар бир қийматига мос қўйиладиган   ни аниқловчи қоида ёки қонун турлича бўлиши мумкин. Демак, функциянинг берилиши ҳам турличадир. Функция аналитик, жадвал ва график ҳамда компьютер усуллари ёрдамида берилиши мумкин:

1) функцияинг аналитик усул билан берилишида,  ўзгарувчининг ҳар бир қийматига мос келадиган  нинг қиймати,  аргумент устида алгебраик амалларнинг бажарилиши натижасида, яъни формулалар ёрдамида берилади. Масалан,

         ;

2)  ўзгарувчилар орасидаги боғланиш жадвал кўринишида берилиши мумкин. Масалан, кузатиш натижасида сутни ёпиқ идишда қиздирилганда  босим остида унинг қайнаш температураси  босим остида қайнаш температураси  ва ҳ.к. бўлишини топганда қўйидаги жадвал келиб чиқади.

Босим 

                   …

Температура   

                   …

 

Бундан кўринадики  босим билан  температура орасида боғланиш бўлиб,  аргумент,  функция бўлади. Функциянинг бундай берилишига жадвал усулда берилган дейилади. Бундай усул кўпроқ тажрибаларда ишлатилади.

3) Функциянинг  график усулида берилишида,  ва  ўзгарувчилар орасидаги  боғланиш текисликдаги бирор чизиқ ёрдамида берилади. Бунда  ва  тўпламлар орасидаги мослик график билан берилади.  текис-ликда  чизиқ берилган бўлсин.  нинг қийматига мос келган  нинг қийматини, топиш учун  нуқтадан  ўқига перпендикуляр ўтказамиз. У  чизиқни битта  нуқтада кесиб ўтади.  нуқтадан  ўқига перпендикуляр ўтказамиз, бу перпендикулярнинг  ўқи билан кесишиш нуқтаси,  нинг  га мос қиймати бўлади. Маълумки, бундай мослик  чизиқ ёрдамида бажарилади. Функциянинг бундай берилиши, график усулда берилган дейилади. Функциянинг график усулида берилишидан, уни аналитик усул билан ифодалаш қийин бўлган ҳолларда ва функциянинг сифат ўзгариши график усулда яхши кўринадиган ҳолларда фойдаланилади. Масалан, физикавий тажрибалар жараёнида осциллографдан олинадиган график.

4) алгоритмик ёки компьютер усули. Функциянинг бундай усулда берилишида  нинг ҳар бир қиймати учун,  функциянинг қийматини ҳисоблайдиган алгоритим ёки программа берилган бўлади. Бундай программа ЭҲМга қўйилган бўлиб функциянинг қиймати автоматик ҳисобланади.

 

Функциянинг айрим ҳоллари

 

Ошкор ва ошкормас функциялар. Функция  кўринишда, яъни  га нисбатан ечилган бўлса, унга ошкор функция дейилади. Функция  кўринишда берилган бўлса, яъни  га нисбатан ечилмаган бўлса, ошкормас функция кўринишда берилган дейилади. Масалан,  функциялар ошкор кўринишда;  функциялар ошкормас кўринишда берилган. Шуни таъкидлаймизки ҳамма  кўринишдаги тенглик ҳам функцияни ифодалай бермайди. Масалан,  тенглама функцияни ифодаламайди, чунки  нинг ҳар бир қийматига  нинг ќаљиљий сон қийматини мос қўйиш мумкин эмас.

Мураккаб функция.   бўлиб,  функция берилган бўлса,  функцияга  функциянинг функцияси ёки  га  нинг мураккаб функцияси дейилади. Масалан,  функцияда  бўлиб.   нинг мураккаб функцияси бўлади. Бундан ташқари  ва ҳ.к. лар ҳам, мураккаб функцияга мисол бўлаолади.

 

Чизиқли функция

 

Чизиқли функция деб, кўринишдаги функцияга айтилади. Бу ерда k ва b сонлар берилган сонлар.  b=0 бўлганида чизиқли функция  кўринишга эга бўлади ва унинг графиги координаталар бошидан ўтувчи тўғри чизиқ бўлади. Бу далилга асосланиб, чизиқли функциянинг графиги тўғри чизиқ бўлишини кўрсатиш мумкин. Икки нуқта орқали биргина тўғри чизиқ ўтганлиги сабабли, функциянинг графигини ясаш учун шу графикнинг икки нуқтасини ясаш етарли бўлади.

1–масала. y=2x+5фунциянинг графигини ясанг.

х=0 бўлганда у=5

х=1 бўлганда  у=7 нуқталар графикка тегишли.

 

 

 

 

 

  4

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 

1

 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

    -2

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умуман  функциянинг графиги  функция графигини ординаталар ўқи бўйича b бирликка силжиш йўли билан ҳосил қилинади.  ва  функцияларнинг графиклари параллел тўғри чизиқлар бўлади.

Чизиқли функциянинг графиги, ўсиши ва камайиши

2–масала.  функция графигининг координата ўқлари биланкесишиш нуқталарини топинг.

1. Графикнинг абсциссалар ўқи билан кесишиш нуқтасини топамиз. Бу нуқтанинг одинатаси 0 га тенг. Шунинг учун -2х+4=0, бундан х=2. шундай қилиб, графикнинг абссиссалар ўқи билан кесишиш нуқтаси (2;0) координатага эга бўлади.

2. Графикни ординалар ўқи билан кесишиш нуқтасини топамиз. Бу нуқтанинг абссиссаси 0 га тенг. Бўлгани учун у=-2×0+4=4

 

 

 

 

 

 

  4

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 

1

 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

    -2

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графикнинг орданаталар ўқи билан кесишиш нуқтаси (0;4) координатага эга бўлади.

Чизиқли функциянинг графигини ясаш учун баъзан шу графикнинг координата ўқлари билан кесишиш нуқталарини топиш қулайлигини такидлаш керак.

Агар чизиқли функциядан k>0 бўлга график ўсувчи, яъни функция ўсувчи функция бўлади. Агар k<0 бўлса графиги пастга қараган бўлиб, функция камаювчи функция бўлади. 

3–мисол. k=0 ва b=2 бўлганда чизиқли функциянинг графигини ясанг. Бунда k=0 ва b=2 бўлганда у=0 кўринишга эга бўлади. Графикнинг барча нуқталарининг орданаталари 2 га тенг. Бу функциянинг графиги Ох ўқига парллел (0;2) нуқтадан ўтувчи тўғри чизиқ бўлади.

 

 

 

 

 

 

 

  4

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

У=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 

1

 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

    -2

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5–мисол. чизиқли функция берилган:

1) у(0), у(1), у(2) ни топинг.

у(0)=3×0-1=-1

у(1)=3×1-1=2

у(2)=3×2-1=5

2) Агар у(х)=-4,  у(х)=8 у(х)=0 бўлса, х нинг қийматини топинг.

                                        функцияда

у(х)=3х-1                        у(х)=3х-1                      у(х)=3х-1  

3х-1=-4                           3х-1=8                          3х-1=0

=-3                              3х=9                              3х=1

х=-1                                х=3                               х=

6–мисол. Функциянинг графигини ясанг.

1) у=2х+1

х=-3,   у=-5; х=-2,         у=-3; х=-1,         у=-1; х=0,  у=1; х=1,  у=3; х=2,  у=5 

 

 

у=2х+1

 

 

 

 

 

    4

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 

1

 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

       -2

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 -4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    Чизиқли функциянинг графиги ҳар доим тўғри чизиқдан иборат бўлганлиги учун, уни иккита нуқтасини топиш етарли.

7–мисол. Функциянинг графигини ясанг.

2) у=-2х+1

х=0,    у=1;                    (0;1)

у=0,    -2х+1=0, -2х=-1, х=0,5;  

 

 

 

 

у=-2х+1

 

 

 

    4

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 

1

 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

       -2

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&nbs

Жойлаштирди: Мўминов Зайлобидин Муллаевич
Кўриб чиқилди: 152
Video darsliklar:

Video darsliklari qo'shilmagan